错位相减(数列错位相减法)

形如An=BnCn,其中{Bn}为等差数列,通项公式为bn=b1+(n-1)*d;{Cn}为等比数列,通项公式为cn=c1*q^(n-1);对数列An进行求和,首先列出Sn,记为式(1);再把所有式子同时乘以等比数列的公比q,即q·Sn,记为式(2);然后错开一位,将式(1)与式(2)作差,对从而简化对数列An的求和。这种数列求和方法叫做错位相减法。

  经典例题

已知数列{an}中,a1=3,点(an,an+1)在直线y=x+2上。

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=an`3n,求数列{bn}的前n项和Tn。

解:

(1)∵点(an,an+1)在直线y=x+2上

∴an+1=an+2,即an+1-an=2

∴数列{an}是以3为首项,以2为公差的等差数列

∴an=3+2(n-1)=2n+1

(2)∵bn=an·3n

∴bn=(2n+1)·3n

∴Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n①

3Tn=3×32+5×33+…+(2n-1)·3n+(2n+1)·3n+1②

由①-②得

-2Tn=3×3+2(32+33+…+3n)-(2n+1)·3n+1

=9+2×9(1-3n-1)/(1-3)-(2n+1)·3n+1

=-2n·3n+1

∴Tn=n·3n+1

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