怎么求函数定义域(函数的定义域及原则)

  、函数的定义域及原则

1、定义:

设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系$f$,使对于集合A中的任意一个数$x$,在集合B中都有唯一确定的数$f(x)$和它对应,那么就称$f:A \to B$为从集合A到集合B的一个函数,计作 $y=f(x),x\in A$。其中,$x$叫做自变量,$x$的取值范围A叫做函数的定义域.

2、确定函数定义域的原则

(1) 当函数$y=f(x)$用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数$x$的集合.

(2) 当函数$y=f(x)$用图象给出时,函数的定义域是指图象在$x$轴上的投影所覆盖的实数$x$的集合.

(3) 当函数$y=f(x)$用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数$x$的集合.

(4) 当函数$y=f(x)$由实际问题给出时,函数的定义域受问题的实际意义限制.

提醒:函数的定义域是非空数集.

二、函数的定义域相关例题

求下列函数的定义域

(1) $y=2x+3;$

(2) $f(x)=\frac{1}{x+1};$

(3) $y=\sqrt{1-x}+\frac{1}{x+5};$

(4) $y=\frac{3}{1-\sqrt{1-x}}$.

答案:

(1) $\{x\mid x \in R\}$

(2) $\{x \mid x \not=-1\}$

(3) $\{x\mid x \le1且x\not=-5\}$

(4) $\{x\mid x \le1且x\not=0 \}$

解析:

(1) 函数 $y=2x+3$的定义域为$\{x\mid x \in R\}$.

(2) 要使函数有意义,则有$x+1\not=0,x \not= -1.$ 故函数的定义域为$\{x \mid x \not=-1\}$.

(3) 由已知得 $\begin{cases}1-x \geqslant 0,\\x+5\not=0, \end{cases}$解得$x \leq 1$且$x\not=-5$.

故所求定义域为$\{x\mid x \le1且x\not=-5\}$.

(4) 由已知得$\begin{cases} 1-x\ge0,\\1-\sqrt{1-x}\not=0, \end{cases}$解得$x \le1且x\not=0$.

故所求定义域为$\{x\mid x \le1且x\not=0 \}$.

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