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直线的斜率(高中数学直线的斜率怎么求)

直线与方程

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倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

2、 倾斜角α的取值范围:??? 0°≤α<180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、 直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:

?? 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1???? ????

两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2

2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

直线的点斜式方程

1、? 直线的点斜式方程:直线经过点,且斜率为?????

2、、直线的斜截式方程:已知直线的斜率为,且与轴的交点为???

直线的两点式方程

1、直线的两点式方程:已知两点其中??? y-y1/y-y2=x-x1/x-x2

2、直线的截距式方程:已知直线与轴的交点为A,与轴的交点为B,其中

直线的一般式方程

1、直线的一般式方程:关于的二元一次方程(A,B不同时为0)

2、各种直线方程之间的互化。

直线的交点坐标与距离公式

两直线的交点坐标

1、给出例题:两直线交点坐标

L1 :3x+4y-2=0??? L1:2x+y +2=0????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

解:解方程 ??????????????????????

得 x=-2,y=2

所以L1与L2的交点坐标为M(-2,2)

1、两点间距离

两点间的距离公式

2、点到直线的距离公式

1.点到直线距离公式:

点到直线的距离为:

2、两平行线间的距离公式:

已知两条平行线直线和的一般式方程为:,

:,则与的距离为

直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个值,只要深入研究就会发现:直线斜率数值意义的解题功效是多方面的,如果熟练掌握了用直线斜率来处理这些问题,可以大大简化解题速度.

1借助直线的斜率巧解应用题

例1某校一年级为配合素质教育,利用一间教室作为学生绘画成果展览室,为节约经费,他们利用课桌作为展台,将装画的镜框放置桌上,斜靠展出,已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α<180°)镜框中,画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m(a>b).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳?

解建立如图所示的直角坐标系,AO为镜框边,AB为画的宽度,O为下边缘上的一点,在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x>0),欲使看画的效果最佳,应使∠ACB取得最大值.

由三角函数的定义知:A、B两点坐标分别为(acosα,asinα)、(bcosα,bsinα),于是直线AC、BC的斜率分别为:

kAC=tanxCA=,.

于是tanACB=

由于∠ACB为锐角,且x>0,则tanACB≤,当且仅当=x,即x=时,等号成立,此时∠ACB取最大值,对应的点为C(,0),因此,学生距离镜框下缘 cm处时,视角最大,即看画效果最佳.

点评本题是一个非常实际的数学问题,它不仅考查了两点连线的斜率公式、用不等式法求最值以及对三角知识的综合运用,而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力.解决本题有几处至关重要,一是建立恰当的坐标系,使问题转化成解析几何问题求解;二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值,从而转化为有关斜率的问题.

2借助直线的斜率比较大小

例2设M=,则M与N的大小关系为(??? )

A.M>N??????? B.M=N????????????? ????????????? ????????????? C.M<N???????? D.无法判断解析将问题转化为比较A(-1,-1)与B(102001,102000)及C(102002,102001)连线的斜率大小,因为B、C两点的直线方程为y=x,点A在直线的下方,∴kAB>kAC,即M>N.答案:A.

点评如果此题按常规方法处理直接作差将会比较难处理,而采用直线斜率的几何意义就直接明了,易处理.

3借助直线的斜率求直线的方程

例3.过点P(2,1)作直线l分别交x,y的正半轴于A,B两点,求(1)△ABO面积的最小值,及相应的直线方程;(2)若︱PA︱·︱PB︱取最小值时,求直线的方程.

解析显然直线效率存在,设直线方程为y-1=k(x-2)(k<0),得点A(),? B(0,1-2k),(1)S△ABO=︱OA︱·︱OB︱=()(1-2k)=2+(-2k-),

∵k<0? ∴S△ABO≥4,此时即直线为x+2y-4=0.

(2)︱PA︱·︱PB︱=,? 此时即直线为x+y-3=0.

4构造直线斜率证明不等式问题

例4.已知a、b、m都是正实数,并且a<b,求证:.

证明如图,在平面直角坐标系内,设点,点. 由m>0和0<a<b知点A在直线y=x在第三象限的图像上,点B在直线y=x在第一象限的图像的下方,于是可得斜率,即,原不等式得证.

点评这是新教材高二数学上册上的一道例题.教材上是用比较法去进行证明的,但细细研究会发现还可通过构造直线斜率来证明该不等式,因为所证式子酷似直线的斜率表达式,故可借助题设条件构造直线,然后运用倾斜角的大小与斜率的关系来证明不等式.

5构造直线斜率解决变量或参数范围问题

例5若在圆上运动,求的取值范围.

解因为是直线OP(的斜率,在圆上,当p点是由原点O向圆作切线的切点时,取到最大值与最小值.

设直线OP的斜率为k,直线OP的方程为y=kx,圆心C的坐标为,半径为.由于圆心C到切线的距离等于半径,于是可得方程:,解得.所以的取值范围为.

点评可以看成是点与原点连线所在直线的斜率,则可以构造如下一个函数:设k=,得函数y=kx.于是所求的取值范围问题就可以转换为求函数y=kx所对应直线的斜率的取值范围问题.

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最后编辑于:2021/11/30作者: 特时代

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